Se o problema for o HD vai ser um pouco difícil acessá-lo para copiar os arquivos para outro lugar. Mas caso queira fazer o teste, tente (em um computador de familiar ou amigo) colocar num pendrive um Sistema Operacional Live CD (como a iso do Ubuntu) e a partir daí tentar acessar o armazenamento do HD e fazer uma cópia para outro HD ou pendrive.
Se o problema for o HD² mesmo, você pode usar o Ubuntu Live CD (sem ser necessário instalar o mesmo) para usar o computador normalmente. Nesse caso você navega na internet e tem acesso a alguns programas que vem com ele, pode ouvir músicas, ver vídeos, alterar arquivos no Word, etc. O armazenamento que ele vai usar é o do seu próprio pendrive.
Vídeo de como fazer o processo: